与えられたグラフは関数 $y = 2\sin(a\theta - b)$ の一部です。$a > 0$、$0 < b < 2\pi$の条件下で、$a$、$b$、そしてグラフ上の点A、B、Cの値を求めます。

1. 問題の内容

与えられたグラフは関数 $y = 2\sin(a\theta - b)$ の一部です。$a > 0$、$0 < b < 2\pi$の条件下で、$a$、$b$、そしてグラフ上の点A、B、Cの値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、グラフの振幅を読み取ります。$y = 2\sin(a\theta - b)$ の振幅は2なので、グラフから$A = 2$、$B = -2$であることがわかります。

次に、グラフの周期を読み取ります。グラフは$\theta = \frac{\pi}{6}$でy=0から増加を始め、$\theta = \frac{\pi}{2}$でy=0となり減少に転じているので、$\frac{\pi}{6}$から$\frac{\pi}{2}$までで半周期です。よって周期は $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ の2倍、つまり$\frac{2\pi}{3}$となります。

$y = 2\sin(a\theta - b)$ の周期は $\frac{2\pi}{a}$ で与えられるので、$a$は

$\frac{2\pi}{a} = \frac{2\pi}{3}$

$a = 3$

となります。

次に、$b$を求めます。

$y = 2\sin(3\theta - b)$ は、$\theta = \frac{\pi}{6}$ で $y = 0$ となり、かつ増加するので、$3(\frac{\pi}{6}) - b = 0$ または $3(\frac{\pi}{6}) - b = 2\pi$ あるいは $3(\frac{\pi}{6}) - b = 4\pi$ などとなります。

$\frac{\pi}{2} - b = 0$の場合、$b = \frac{\pi}{2}$となり、$0 < b < 2\pi$の条件を満たします。

$\frac{\pi}{2} - b = 2\pi$の場合、$b = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$となり、$0 < b < 2\pi$の条件を満たしません。

同様に $3(\frac{\pi}{6}) - b = n\pi$ (nは整数)となるようなbを探します。今回は $b = \frac{\pi}{2}$ が条件を満たすので採用します。

最後に、点Cの$x$座標を求めます。グラフは$\theta = \frac{\pi}{2}$でy=0となり、減少に転じているので、$3\theta - \frac{\pi}{2} = \pi$となり、

$3\theta = \frac{3\pi}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$ で $y = 0$ となり増加に転じます。つまり$\theta = \frac{\pi}{2}$と$\theta = \frac{2\pi}{3}$の中間地点が点Cです。

点Cの$\theta$座標は$\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}}{2}=\frac{\frac{3\pi+4\pi}{6}}{2}=\frac{7\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = \frac{\pi}{2}$

$A = 2$

$B = -2$

$C = \frac{7\pi}{12}$