与えられた関数とその定義域について、それぞれの関数の増減を調べる問題です。 (1) $f(x) = x^3$, 定義域 $[1, 3]$ (2) $f(x) = \frac{2}{x}$, 定義域 $[2, 4]$ (3) $f(x) = x^3 - x$, 定義域 $[-2, 2]$

1. 問題の内容

与えられた関数とその定義域について、それぞれの関数の増減を調べる問題です。

(1) $f(x) = x^3$, 定義域 $[1, 3]$

(2) $f(x) = \frac{2}{x}$, 定義域 $[2, 4]$

(3) $f(x) = x^3 - x$, 定義域 $[-2, 2]$

2. 解き方の手順

各関数の導関数を計算し、定義域内で導関数の符号を調べることで、増減を判断します。

(1) $f(x) = x^3$

導関数は $f'(x) = 3x^2$

定義域 $[1, 3]$ において、$f'(x) > 0$ であるため、関数は増加します。

(2) $f(x) = \frac{2}{x}$

導関数は $f'(x) = -\frac{2}{x^2}$

定義域 $[2, 4]$ において、$f'(x) < 0$ であるため、関数は減少します。

(3) $f(x) = x^3 - x$

導関数は $f'(x) = 3x^2 - 1$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ のときです。

定義域 $[-2, 2]$ を分割して考えます。

* $-2 \le x < -\frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$f'(x) > 0$ なので増加します。

* $-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$f'(x) < 0$ なので減少します。

* $\frac{1}{\sqrt{3}} < x \le 2$ のとき、$f'(x) > 0$ なので増加します。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^3$ は $[1, 3]$ で増加する。

(2) $f(x) = \frac{2}{x}$ は $[2, 4]$ で減少する。

(3) $f(x) = x^3 - x$ は $[-2, -\frac{1}{\sqrt{3}}]$ で増加、 $[-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}]$ で減少、 $[\frac{1}{\sqrt{3}}, 2]$ で増加する。