与えられた関数 $f(x)$ と区間に対して、平均値の定理を満たす $c$ を求める問題です。平均値の定理とは、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも１つ存在する、という定理です。与えられた各関数について、この $c$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ と区間に対して、平均値の定理を満たす $c$ を求める問題です。平均値の定理とは、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも１つ存在する、という定理です。与えられた各関数について、この $c$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3$, $[1, 3]$ の場合

まず、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2$

次に、平均値の定理の式に当てはめます。

$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{3^3 - 1^3}{3 - 1} = \frac{27 - 1}{2} = \frac{26}{2} = 13$

したがって、$f'(c) = 3c^2 = 13$ となる $c$ を求めます。

$c^2 = \frac{13}{3}$

$c = \pm \sqrt{\frac{13}{3}} = \pm \frac{\sqrt{39}}{3}$

ここで、$1 < c < 3$ の範囲にある $c$ を選びます。

$c = \frac{\sqrt{39}}{3}$

(2) $f(x) = \frac{2}{x}$, $[2, 4]$ の場合

まず、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -\frac{2}{x^2}$

次に、平均値の定理の式に当てはめます。

$\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{\frac{2}{4} - \frac{2}{2}}{4 - 2} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{2} = \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}$

したがって、$f'(c) = -\frac{2}{c^2} = -\frac{1}{4}$ となる $c$ を求めます。

$\frac{2}{c^2} = \frac{1}{4}$

$c^2 = 8$

$c = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

ここで、$2 < c < 4$ の範囲にある $c$ を選びます。

$c = 2\sqrt{2}$

(3) $f(x) = x^3 - x$, $[-2, 2]$ の場合

まず、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 1$

次に、平均値の定理の式に当てはめます。

$\frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{(2^3 - 2) - ((-2)^3 - (-2))}{2 - (-2)} = \frac{(8 - 2) - (-8 + 2)}{4} = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$

したがって、$f'(c) = 3c^2 - 1 = 3$ となる $c$ を求めます。

$3c^2 = 4$

$c^2 = \frac{4}{3}$

$c = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

ここで、$-2 < c < 2$ の範囲にある $c$ を選びます。

$c = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{\sqrt{39}}{3}$

(2) $c = 2\sqrt{2}$

(3) $c = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$