与えられた曲線上の点Aにおける接線と法線の方程式を求める問題です。 (1) $y = \frac{x}{x+1}$, $A(0, 0)$ (2) $y = e^{-x}$, $A(-1, e)$

1. 問題の内容

与えられた曲線上の点Aにおける接線と法線の方程式を求める問題です。

(1) $y = \frac{x}{x+1}$, $A(0, 0)$

(2) $y = e^{-x}$, $A(-1, e)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = \frac{x}{x+1}$ を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = \frac{(x+1)(1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$

次に、点 $A(0, 0)$ における接線の傾きを求めます。

$y'(0) = \frac{1}{(0+1)^2} = 1$

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ より、

$y - 0 = 1(x - 0)$

$y = x$

法線は接線と直交するので、法線の傾きは $-1$ となります。

法線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ より、

$y - 0 = -1(x - 0)$

$y = -x$

(2)

まず、$y = e^{-x}$ を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = -e^{-x}$

次に、点 $A(-1, e)$ における接線の傾きを求めます。

$y'(-1) = -e^{-(-1)} = -e$

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ より、

$y - e = -e(x - (-1))$

$y - e = -e(x + 1)$

$y = -ex - e + e$

$y = -ex$

法線は接線と直交するので、法線の傾きは $\frac{1}{e}$ となります。

法線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ より、

$y - e = \frac{1}{e}(x - (-1))$

$y - e = \frac{1}{e}(x + 1)$

$y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{e} + e$

3. 最終的な答え

(1)

接線: $y = x$

法線: $y = -x$

(2)

接線: $y = -ex$

法線: $y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{e} + e$