$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \tan x}{x^2}$ の極限値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \tan x}{x^2}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ の性質を利用します。

まず、与えられた式を変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \tan x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \cdot \frac{\tan x}{x}$

$\sin 2x$ の部分について、$2x = t$ と置くと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x} = 2 \lim_{2x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

$\tan x$ の部分については、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \tan x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 2 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

2