関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ の増減、凹凸を調べ、曲線 $y=f(x)$ の概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ の増減、凹凸を調べ、曲線 $y=f(x)$ の概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$1-x^2 = 0$ より、 $x = \pm 1$

(3) 第二次導関数 $f''(x)$ を求める。

$f''(x) = \frac{-2x(x^2+1)^2 - (1-x^2)2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{-2x(x^2+1) - 4x(1-x^2)}{(x^2+1)^3} = \frac{-2x^3 - 2x - 4x + 4x^3}{(x^2+1)^3} = \frac{2x^3 - 6x}{(x^2+1)^3} = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$

(4) $f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$2x(x^2-3) = 0$ より、 $x=0, \pm \sqrt{3}$

(5) 増減表を作る。

| x | -∞ | -√3 | | -1 | | 0 | | 1 | | √3 | | +∞ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| f'(x) | | - | | 0 | + | | + | 0 | - | | - | |

| f''(x) | | - | 0 | + | | 0 | - | | - | 0 | + | |

| f(x) | 0 | 減少(下に凸) | -√3/4 | 極小 | -1/2 | 増加(上に凸) | 0 | 増加(下に凸) | 1/2 | 極大 | √3/4 | 減少(上に凸) | 0 |

(6) 極値を求める。

$x = -1$ のとき極小値 $f(-1) = -1/2$

$x = 1$ のとき極大値 $f(1) = 1/2$

$x= \pm \sqrt{3}$ のとき変曲点となる。

$f(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{4}$

$f(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

$f(0) = 0$

(7) $x \to \pm \infty$ のときの $f(x)$ の極限を求める。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2+1} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2+1} = 0$

(8) グラフの概形を描く。

(増減表を参考にグラフを描く)

原点に関して奇関数である。

3. 最終的な答え

増減表とグラフの概形（グラフは省略）。

極大値 $f(1) = 1/2$

極小値 $f(-1) = -1/2$

変曲点 $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4}), (0,0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$