与えられた3つの関数に対して、n次導関数を求める問題です。 (1) $f(x) = x \sin x$ (2) $g(x) = x^2 e^{3x}$ (3) $h(x) = x^3 a^x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数に対して、n次導関数を求める問題です。

(1) $f(x) = x \sin x$

(2) $g(x) = x^2 e^{3x}$

(3) $h(x) = x^3 a^x$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x \sin x$ のn次導関数を求める。

ライプニッツの公式を用いる。ライプニッツの公式とは、$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$である。

$u = x$, $v = \sin x$ とおく。

$u' = 1$, $u'' = 0$ であるから、ライプニッツの公式より、

$f^{(n)}(x) = {}_n C_0 x (\sin x)^{(n)} + {}_n C_1 (\sin x)^{(n-1)}$

$\sin x$ の導関数は $\sin(x + k \frac{\pi}{2})$ (kは整数) の形になることを利用する。

$(\sin x)^{(n)} = \sin(x + n \frac{\pi}{2})$

$(\sin x)^{(n-1)} = \sin(x + (n-1) \frac{\pi}{2})$

したがって、

$f^{(n)}(x) = x \sin(x + n \frac{\pi}{2}) + n \sin(x + (n-1) \frac{\pi}{2})$

(2) $g(x) = x^2 e^{3x}$ のn次導関数を求める。

ライプニッツの公式を用いる。

$u = x^2$, $v = e^{3x}$ とおく。

$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u''' = 0$ であるから、ライプニッツの公式より、

$g^{(n)}(x) = {}_n C_0 x^2 (e^{3x})^{(n)} + {}_n C_1 2x (e^{3x})^{(n-1)} + {}_n C_2 2 (e^{3x})^{(n-2)}$

$(e^{3x})^{(n)} = 3^n e^{3x}$

$(e^{3x})^{(n-1)} = 3^{n-1} e^{3x}$

$(e^{3x})^{(n-2)} = 3^{n-2} e^{3x}$

したがって、

$g^{(n)}(x) = x^2 3^n e^{3x} + n (2x) 3^{n-1} e^{3x} + \frac{n(n-1)}{2} 2 \cdot 3^{n-2} e^{3x}$

$= e^{3x} (3^n x^2 + 2n 3^{n-1} x + n(n-1) 3^{n-2})$

(3) $h(x) = x^3 a^x$ のn次導関数を求める。

ライプニッツの公式を用いる。

$u = x^3$, $v = a^x$ とおく。

$u' = 3x^2$, $u'' = 6x$, $u''' = 6$, $u'''' = 0$ であるから、ライプニッツの公式より、

$h^{(n)}(x) = {}_n C_0 x^3 (a^x)^{(n)} + {}_n C_1 3x^2 (a^x)^{(n-1)} + {}_n C_2 6x (a^x)^{(n-2)} + {}_n C_3 6 (a^x)^{(n-3)}$

$(a^x)^{(n)} = (\ln a)^n a^x$

したがって、

$h^{(n)}(x) = x^3 (\ln a)^n a^x + n \cdot 3x^2 (\ln a)^{n-1} a^x + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 6x (\ln a)^{n-2} a^x + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot 6 (\ln a)^{n-3} a^x$

$= a^x [x^3 (\ln a)^n + 3n x^2 (\ln a)^{n-1} + 3n(n-1) x (\ln a)^{n-2} + n(n-1)(n-2) (\ln a)^{n-3}]$

3. 最終的な答え

(1) $f^{(n)}(x) = x \sin(x + n \frac{\pi}{2}) + n \sin(x + (n-1) \frac{\pi}{2})$

(2) $g^{(n)}(x) = e^{3x} (3^n x^2 + 2n 3^{n-1} x + n(n-1) 3^{n-2})$

(3) $h^{(n)}(x) = a^x [x^3 (\ln a)^n + 3n x^2 (\ln a)^{n-1} + 3n(n-1) x (\ln a)^{n-2} + n(n-1)(n-2) (\ln a)^{n-3}]$