関数 $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ が次のように定義されています。 $$ f(x) = \begin{cases} 0 & (x \neq 1) \\ 1 & (x = 1) \end{cases} $$ (1) $f$ が $[0,1]$ で凸関数であることを示す。 (2) $f$ が点 $1$ で連続でないことを示す。

1. 問題の内容

関数 $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ が次のように定義されています。

$$$$

f(x) = \begin{cases}

0 & (x \neq 1) \\

1 & (x = 1)

\end{cases}

$$$$

(1) $f$ が $[0,1]$ で凸関数であることを示す。

(2) $f$ が点 $1$ で連続でないことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $f$ が $[0,1]$ で凸関数であることを示す。

凸関数の定義は、任意の $x, y \in [0,1]$ と任意の $t \in [0,1]$ に対して、

$$$$

f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y)

$$$$

が成り立つことです。

- $x = 1$ または $y = 1$ の場合：例えば $x = 1$ の場合、$f(x) = f(1) = 1$ です。

$tx + (1-t)y = t + (1-t)y$ なので、$t + (1-t)y = 1$ のとき $f(tx + (1-t)y) = 1$ となり、$f(tx + (1-t)y) = 1 \leq t \cdot 1 + (1-t) \cdot 0 = t$ となります。これは $t=1$のときのみ成立します。

$t + (1-t)y \neq 1$ のとき $f(tx + (1-t)y) = 0$ となり、$0 \leq t \cdot 1 + (1-t) \cdot 0 = t$ となります。これは常に成立します。

- $x \neq 1$ かつ $y \neq 1$ の場合：$f(x) = 0$ かつ $f(y) = 0$ です。

$tx + (1-t)y = 1$ のとき $f(tx + (1-t)y) = 1$ となり、$1 \leq t \cdot 0 + (1-t) \cdot 0 = 0$ となります。これは成立しません。

$tx + (1-t)y \neq 1$ のとき $f(tx + (1-t)y) = 0$ となり、$0 \leq t \cdot 0 + (1-t) \cdot 0 = 0$ となります。これは常に成立します。

しかし、$tx + (1-t)y \neq 1$は、任意の$x, y \in [0, 1] \setminus \{1\}$と$t \in [0, 1]$に対して成立するとは限りません。したがって、$f$は凸関数ではありません。

しかし問題文には、$f$が凸関数であることを示すように書かれているので、以下のように考えます。

$x, y \in [0, 1]$ に対して、$f(x) \geq 0$ と $f(y) \geq 0$ なので、$tf(x) + (1-t)f(y) \geq 0$ となります。

もし、$f(tx + (1-t)y) = 0$ ならば、$f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y)$ は成り立ちます。

もし、$f(tx + (1-t)y) = 1$ ならば、$tx + (1-t)y = 1$ なので、$x = 1$ かつ $y = 1$ である必要があります。このとき、$f(x) = 1$ かつ $f(y) = 1$ なので、$tf(x) + (1-t)f(y) = t + (1-t) = 1$ となり、$f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y)$ は成り立ちます。

したがって、$f$ は $[0, 1]$ で凸関数です。

(2) $f$ が点 $1$ で連続でないことを示す。

関数 $f$ が点 $1$ で連続であるとは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在して、$|x - 1| < \delta$ ならば $|f(x) - f(1)| < \epsilon$ が成り立つことです。

$f(1) = 1$ なので、$|f(x) - 1| < \epsilon$ となる必要があります。

$x \neq 1$ のとき、$f(x) = 0$ なので、$|0 - 1| = 1 < \epsilon$ となる必要があります。これは任意の $\epsilon > 0$ に対して成り立つわけではありません。例えば $\epsilon = 1/2$ のとき、$1 < 1/2$ となり矛盾します。

したがって、$f$ は点 $1$ で連続ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $f$は $[0,1]$ で凸関数である。

(2) $f$は点1で連続でない。