積分 $\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx$ を計算します。ヒントとして、$x=2t$ とおくこと、ベータ関数に帰着させること、そしてベータ関数をガンマ関数で表す公式を使うことが示されています。

はい、承知いたしました。画像に書かれている問題のうち、(3)の問題を解きます。

1. 問題の内容

積分 $\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx$ を計算します。ヒントとして、$x=2t$ とおくこと、ベータ関数に帰着させること、そしてベータ関数をガンマ関数で表す公式を使うことが示されています。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$x = 2t$ とおくと、$dx = 2 dt$ となり、積分範囲は $x=0$ のとき $t=0$, $x=2$ のとき $t=1$ となります。従って、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx = \int_{0}^{1} \frac{(2t)^3}{\sqrt{2-2t}} 2 dt = \int_{0}^{1} \frac{8t^3}{\sqrt{2(1-t)}} 2 dt = \frac{16}{\sqrt{2}} \int_{0}^{1} \frac{t^3}{\sqrt{1-t}} dt = 8\sqrt{2} \int_{0}^{1} t^3 (1-t)^{-1/2} dt$

ここで、ベータ関数の定義を思い出します。

$B(m,n) = \int_{0}^{1} t^{m-1} (1-t)^{n-1} dt$

したがって、今回の積分はベータ関数を用いて表すことができます。

$\int_{0}^{1} t^3 (1-t)^{-1/2} dt = B(4, \frac{1}{2})$

次に、ベータ関数をガンマ関数で表す公式を使います。

$B(m,n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$

この公式を使うと、

$B(4, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(4) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(4+\frac{1}{2})} = \frac{\Gamma(4) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{9}{2})}$

ガンマ関数の性質 $\Gamma(n) = (n-1)!$ および $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ を使うと、

$\Gamma(4) = (4-1)! = 3! = 6$

$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$

$\Gamma(\frac{9}{2}) = \frac{7}{2} \Gamma(\frac{7}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{105}{16} \sqrt{\pi}$

したがって、

$B(4, \frac{1}{2}) = \frac{6 \sqrt{\pi}}{\frac{105}{16} \sqrt{\pi}} = \frac{6}{\frac{105}{16}} = \frac{6 \cdot 16}{105} = \frac{96}{105} = \frac{32}{35}$

元の積分は、

$8\sqrt{2} \int_{0}^{1} t^3 (1-t)^{-1/2} dt = 8\sqrt{2} \cdot \frac{32}{35} = \frac{256\sqrt{2}}{35}$

3. 最終的な答え

$\frac{256\sqrt{2}}{35}$