関数 $f(x) = x^3$ (定義域は実数全体) について、以下の問いに答える。 (1) $f'(a) = 0$ となる点 $a$ を求める。 (2) (1) で求めた点 $a$ において、$f$ が極値をとらないことを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3$ (定義域は実数全体) について、以下の問いに答える。

(1) $f'(a) = 0$ となる点 $a$ を求める。

(2) (1) で求めた点 $a$ において、$f$ が極値をとらないことを示す。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f(x) = x^3$ なので、

$f'(x) = 3x^2$

次に、$f'(a) = 0$ となる $a$ を求める。

$3a^2 = 0$

$a^2 = 0$

$a = 0$

(2) $a = 0$ において、$f(x)$ が極値をとらないことを示す。

極値の定義から、$a = 0$ が極値を持つためには、ある $\delta > 0$ が存在して、

$x \in (a - \delta, a + \delta)$ かつ $x \neq a$ であるすべての $x$ に対して、$f(x) < f(a)$ または $f(x) > f(a)$ が成立する必要がある。

しかし、問題文中のヒントにあるように、任意の $\delta > 0$ に対して、$x \neq a$, $y \neq a$ かつ $x, y \in (a - \delta, a + \delta)$ であって、$f(x) < f(a) < f(y)$ となる $x, y$ が存在することを示せばよい。

$a = 0$ なので、$f(a) = f(0) = 0$ である。

任意の $\delta > 0$ を考える。

$x = -\delta/2$, $y = \delta/2$ とすると、$x, y \in (-\delta, \delta)$ かつ $x, y \neq 0$ である。

$f(x) = f(-\delta/2) = (-\delta/2)^3 = -\delta^3 / 8 < 0 = f(0)$

$f(y) = f(\delta/2) = (\delta/2)^3 = \delta^3 / 8 > 0 = f(0)$

よって、$f(x) < f(0) < f(y)$ となる $x, y$ が存在する。

したがって、$f(x)$ は $a = 0$ で極値をとらない。

3. 最終的な答え

(1) $a = 0$

(2) $a = 0$ において、$f$ は極値をとらない。