$\int_{0}^{\infty} xe^{-\sqrt{x}} dx$ を計算します。ヒントとして、$x = t^2$ とおくことが与えられています。

## (1) の問題

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\infty} xe^{-\sqrt{x}} dx$ を計算します。ヒントとして、$x = t^2$ とおくことが与えられています。

2. 解き方の手順

与えられたヒントに従って、$x = t^2$ と置換します。すると、$dx = 2t dt$ となります。積分範囲も変化し、$x: 0 \to \infty$ は $t: 0 \to \infty$ に対応します。したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{0}^{\infty} t^2 e^{-t} (2t dt) = 2\int_{0}^{\infty} t^3 e^{-t} dt$

ここで、ガンマ関数の定義 $\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} x^{z-1} e^{-x} dx$ を用いると、

$2\int_{0}^{\infty} t^3 e^{-t} dt = 2\Gamma(4)$ となります。

ガンマ関数の性質 $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ を使うと、

$\Gamma(4) = 3\Gamma(3) = 3\cdot2\Gamma(2) = 3\cdot2\cdot1\Gamma(1) = 3! = 6$ となります。

したがって、

$2\Gamma(4) = 2 \cdot 6 = 12$ となります。

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\infty} xe^{-\sqrt{x}} dx = 12$

## (2) の問題

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\infty} x^{n-\frac{1}{2}}e^{-x}dx$ を計算します。ヒントとしてガンマ関数の漸化式と $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ を使うことが与えられています。

2. 解き方の手順

与えられた積分はガンマ関数の定義そのものです。

$\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} x^{z-1}e^{-x}dx$

したがって、積分は $\Gamma(n-\frac{1}{2} + 1) = \Gamma(n+\frac{1}{2})$ に等しくなります。

$\Gamma(n+\frac{1}{2})$ を計算するために、ガンマ関数の漸化式 $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ を繰り返し使います。

$\Gamma(n+\frac{1}{2}) = (n-\frac{1}{2})\Gamma(n-\frac{1}{2}) = (n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})\Gamma(n-\frac{3}{2}) = \cdots$

これを繰り返していくと、$\Gamma(1/2)$ が現れます。$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ は既知です。

$\Gamma(n+\frac{1}{2}) = (n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})\cdots\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}$

ここで、$(2n-1)!!$ は二重階乗を表します。

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\infty} x^{n-\frac{1}{2}}e^{-x}dx = \Gamma(n+\frac{1}{2}) = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}$

## (3) の問題

1. 問題の内容

$\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx$ を計算します。ヒントとして、$x = 2t$ とおくことでベータ関数に帰着させ、ベータ関数をガンマ関数で表す公式を使うことが与えられています。

2. 解き方の手順

与えられたヒントに従い、$x = 2t$ と置換すると、$dx = 2dt$ となり、積分範囲は $x: 0 \to 2$ から $t: 0 \to 1$ に変わります。置換すると、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{(2t)^3}{\sqrt{2-2t}} (2dt) = \int_{0}^{1} \frac{8t^3}{\sqrt{2(1-t)}} (2dt) = \frac{16}{\sqrt{2}} \int_{0}^{1} \frac{t^3}{\sqrt{1-t}} dt = 8\sqrt{2} \int_{0}^{1} t^3 (1-t)^{-1/2} dt$

ここで、ベータ関数の定義 $B(m,n) = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ を用いると、

$\int_{0}^{1} t^3 (1-t)^{-1/2} dt = B(4, \frac{1}{2})$ となります。

ベータ関数とガンマ関数の関係 $B(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ を使うと、

$B(4, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(4)\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(4+\frac{1}{2})} = \frac{\Gamma(4)\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{9}{2})}$

$\Gamma(4) = 3! = 6$、$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ であり、

$\Gamma(\frac{9}{2}) = \frac{7}{2}\Gamma(\frac{7}{2}) = \frac{7}{2}\cdot\frac{5}{2}\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{7}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{7}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{105}{16}\sqrt{\pi}$

したがって、

$B(4, \frac{1}{2}) = \frac{6\sqrt{\pi}}{\frac{105}{16}\sqrt{\pi}} = \frac{6}{\frac{105}{16}} = \frac{6\cdot16}{105} = \frac{32}{35}$

$\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx = 8\sqrt{2} \cdot \frac{32}{35} = \frac{256\sqrt{2}}{35}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx = \frac{256\sqrt{2}}{35}$

## (4) の問題

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta d\theta$ を計算します。ヒントとして、三角関数の積分をベータ関数で表す公式を使い、ベータ関数をガンマ関数で表す公式を使うことが与えられています。

2. 解き方の手順

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m\theta \cos^n\theta d\theta = \frac{1}{2}B(\frac{m+1}{2}, \frac{n+1}{2})$ という公式を使うと、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta d\theta = \frac{1}{2}B(\frac{4+1}{2}, \frac{2+1}{2}) = \frac{1}{2}B(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$

ベータ関数をガンマ関数で表す公式 $B(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ を使うと、

$\frac{1}{2}B(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}) = \frac{1}{2}\frac{\Gamma(\frac{5}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{5}{2}+\frac{3}{2})} = \frac{1}{2}\frac{\Gamma(\frac{5}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(4)}$

$\Gamma(4) = 3! = 6$ であり、

$\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2}\Gamma(\frac{3}{2})$、$\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$ なので、

$\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi} = \frac{3}{4}\sqrt{\pi}$

したがって、

$\frac{1}{2}\frac{\Gamma(\frac{5}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(4)} = \frac{1}{2}\frac{\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{6} = \frac{1}{2} \frac{\frac{3}{8}\pi}{6} = \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi}{32}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta d\theta = \frac{\pi}{32}$