画像に写っている積分問題の中から、問6.1.2の(1)と(5)の積分を計算します。 (1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$ (5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

1. 問題の内容

画像に写っている積分問題の中から、問6.1.2の(1)と(5)の積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

置換積分を行います。$u = 2x+1$ と置くと、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{2x+1} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C$

$u$ を $2x+1$ に戻すと、

$\frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

置換積分を行います。$u = 2-3x$ と置くと、$du = -3dx$ より $dx = -\frac{1}{3}du$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{3} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{3} \sqrt{u} + C$

$u$ を $2-3x$ に戻すと、

$-\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$

(5) $-\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$