以下の4つの積分を計算します。 (1) $\int_0^\infty xe^{-\sqrt{x}} dx$ (2) $\int_0^\infty x^{n-\frac{1}{2}}e^{-x} dx$ (3) $\int_0^2 \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx$ (4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4{\theta}\cos^2{\theta} d\theta$

1. 問題の内容

以下の4つの積分を計算します。

(1) $\int_0^\infty xe^{-\sqrt{x}} dx$

(2) $\int_0^\infty x^{n-\frac{1}{2}}e^{-x} dx$

(3) $\int_0^2 \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx$

(4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4{\theta}\cos^2{\theta} d\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^\infty xe^{-\sqrt{x}} dx$

まず、$x = t^2$ と置換します。すると、$dx = 2t dt$ となります。積分範囲は $x: 0 \to \infty$ に対して $t: 0 \to \infty$ となります。したがって、

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\int_0^\infty xe^{-\sqrt{x}} dx = \int_0^\infty t^2 e^{-t} (2t dt) = 2 \int_0^\infty t^3 e^{-t} dt

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ガンマ関数の定義 $\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx$ より、$\int_0^\infty t^3 e^{-t} dt = \Gamma(4) = 3! = 6$ となります。

したがって、

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2 \int_0^\infty t^3 e^{-t} dt = 2 \times 6 = 12

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(2) $\int_0^\infty x^{n-\frac{1}{2}}e^{-x} dx$

これはガンマ関数の定義そのものです。

$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx$ より、$z-1 = n - \frac{1}{2}$ となるので、$z = n + \frac{1}{2}$ となります。

したがって、

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\int_0^\infty x^{n-\frac{1}{2}}e^{-x} dx = \Gamma(n+\frac{1}{2})

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(3) $\int_0^2 \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx$

$x = 2t$ と置換すると、$dx = 2 dt$ となります。積分範囲は $x: 0 \to 2$ に対して $t: 0 \to 1$ となります。

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\int_0^2 \frac{x^3}{\sqrt{2-x}} dx = \int_0^1 \frac{(2t)^3}{\sqrt{2-2t}} (2 dt) = \int_0^1 \frac{8t^3}{\sqrt{2(1-t)}} (2 dt) = \frac{16}{\sqrt{2}} \int_0^1 \frac{t^3}{\sqrt{1-t}} dt

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$\int_0^1 t^3 (1-t)^{-\frac{1}{2}} dt$ はベータ関数 $B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt$ の形をしているので、$x-1=3$ かつ $y-1 = -\frac{1}{2}$、つまり、$x = 4$ かつ $y = \frac{1}{2}$ となります。

したがって、

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\int_0^1 t^3 (1-t)^{-\frac{1}{2}} dt = B(4, \frac{1}{2})

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ベータ関数とガンマ関数の関係 $B(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ を用いると、

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B(4, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(4)\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(4+\frac{1}{2})} = \frac{3! \sqrt{\pi}}{\Gamma(\frac{9}{2})}

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ここで、$\Gamma(\frac{9}{2}) = \frac{7}{2}\Gamma(\frac{7}{2}) = \frac{7}{2} \times \frac{5}{2}\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{7}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2}\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{7}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{105}{16}\sqrt{\pi}$

したがって、

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\frac{3! \sqrt{\pi}}{\Gamma(\frac{9}{2})} = \frac{6\sqrt{\pi}}{\frac{105}{16}\sqrt{\pi}} = \frac{6 \times 16}{105} = \frac{32}{35}

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したがって、

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\frac{16}{\sqrt{2}} \int_0^1 \frac{t^3}{\sqrt{1-t}} dt = \frac{16}{\sqrt{2}} \times \frac{32}{35} = \frac{512}{35\sqrt{2}} = \frac{512\sqrt{2}}{70} = \frac{256\sqrt{2}}{35}

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(4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4{\theta}\cos^2{\theta} d\theta$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m{\theta}\cos^n{\theta} d\theta = \frac{1}{2} B(\frac{m+1}{2}, \frac{n+1}{2})$ を用いると、$m=4$, $n=2$ なので、

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\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4{\theta}\cos^2{\theta} d\theta = \frac{1}{2} B(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{5}{2}+\frac{3}{2})} = \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(4)}

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$\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2}\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$、$\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$、$\Gamma(4) = 3! = 6$ なので、

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\frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(4)} = \frac{1}{2} \frac{\frac{3}{4} \sqrt{\pi} \times \frac{1}{2} \sqrt{\pi}}{6} = \frac{1}{2} \frac{\frac{3}{8}\pi}{6} = \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi}{32}

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3. 最終的な答え

(1) 12

(2) $\Gamma(n+\frac{1}{2})$

(3) $\frac{256\sqrt{2}}{35}$

(4) $\frac{\pi}{32}$