次の不定積分を計算します。 $\int \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を用いて解くことができます。

まず、$u = 2 + \cos x$ と置きます。

すると、$\frac{du}{dx} = -\sin x$ となります。

したがって、$du = -\sin x dx$ より、$\sin x dx = -du$ となります。

与えられた積分を、$u$ を用いて書き換えると、

$\int \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx = \int \frac{1}{u} (-du) = -\int \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ なので、

$-\int \frac{1}{u} du = - \ln |u| + C$

ここで、$u = 2 + \cos x$ を代入すると、

$- \ln |2 + \cos x| + C$

$2 + \cos x$ は常に正なので、絶対値記号を省略できます。

$- \ln (2 + \cos x) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx = - \ln (2 + \cos x) + C$