与えられた積分を計算します。積分は $\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$ です。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を用います。

* $u = 1 + e^x$ と置きます。

* $du$ を計算します。 $du = e^x dx$ となります。

* 積分を $u$ を用いて書き換えます。

$\int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int \frac{1}{u} du$

* $\int \frac{1}{u} du$ を計算します。

$\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$

* $u$ を元の変数 $x$ に戻します。

$\ln|u| + C = \ln|1+e^x| + C$

$1 + e^x$ は常に正なので、絶対値記号は不要です。

3. 最終的な答え

$\ln(1+e^x) + C$