与えられた積分を計算します。 $\int \frac{x^3}{x^2 + 4} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{x^3}{x^2 + 4} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を次のように変形します。

$\frac{x^3}{x^2 + 4} = \frac{x(x^2 + 4) - 4x}{x^2 + 4} = x - \frac{4x}{x^2 + 4}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x^3}{x^2 + 4} dx = \int (x - \frac{4x}{x^2 + 4}) dx = \int x dx - \int \frac{4x}{x^2 + 4} dx$

最初の積分は簡単に計算できます。

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

2番目の積分を計算するには、$u = x^2 + 4$と置換します。

すると、$du = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2} du$ が得られます。

したがって、

$\int \frac{4x}{x^2 + 4} dx = \int \frac{4}{u} \frac{1}{2} du = 2 \int \frac{1}{u} du = 2 \ln|u| + C_2 = 2 \ln(x^2 + 4) + C_2$

(ここで$x^2+4$は常に正なので、絶対値を省略できます。)

したがって、

$\int \frac{x^3}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2}x^2 - 2 \ln(x^2 + 4) + C$

ここで、$C = C_1 - C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x^2 - 2 \ln(x^2 + 4) + C$