与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているため、ロピタルの定理を繰り返し適用します。

1回目：

分子を微分すると $e^x + e^{-x} - 2$

分母を微分すると $3x^2$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{3x^2}$

これもまた $\frac{0}{0}$ の不定形です。

2回目：

分子を微分すると $e^x - e^{-x}$

分母を微分すると $6x$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{6x}$

これもまた $\frac{0}{0}$ の不定形です。

3回目：

分子を微分すると $e^x + e^{-x}$

分母を微分すると $6$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{6}$

ここで、$x \to 0$ とすると、$e^x \to 1$ かつ $e^{-x} \to 1$ となるので、

$\frac{1 + 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$