問題は、次の極限を求めることです。 $$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x} - \sqrt{1+4x}}{\log(1-x^2)}$$

1. 問題の内容

問題は、次の極限を求めることです。

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x} - \sqrt{1+4x}}{\log(1-x^2)}$$

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を使うことができます。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子:

$f(x) = e^{2x} - \sqrt{1+4x}$

$f'(x) = 2e^{2x} - \frac{1}{2}(1+4x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4 = 2e^{2x} - \frac{2}{\sqrt{1+4x}}$

$f'(0) = 2e^0 - \frac{2}{\sqrt{1}} = 2 - 2 = 0$

分母:

$g(x) = \log(1-x^2)$

$g'(x) = \frac{1}{1-x^2} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{1-x^2}$

$g'(0) = \frac{0}{1} = 0$

まだ $\frac{0}{0}$ の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を使います。

分子の2階微分:

$f''(x) = 4e^{2x} - 2(-\frac{1}{2})(1+4x)^{-\frac{3}{2}} \cdot 4 = 4e^{2x} + 4(1+4x)^{-\frac{3}{2}} = 4e^{2x} + \frac{4}{(1+4x)^{\frac{3}{2}}}$

$f''(0) = 4e^0 + \frac{4}{1} = 4 + 4 = 8$

分母の2階微分:

$g''(x) = \frac{-2(1-x^2) - (-2x)(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{-2 + 2x^2 - 4x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{-2 - 2x^2}{(1-x^2)^2}$

$g''(0) = \frac{-2}{1} = -2$

したがって、

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x} - \sqrt{1+4x}}{\log(1-x^2)} = \lim_{x\to 0} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \frac{8}{-2} = -4$$

3. 最終的な答え

-4