与えられた2つの関数を微分する問題です。 (1) $x^x$ (2) $\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分する問題です。

(1) $x^x$

(2) $\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^x$ の微分

対数微分法を用いる。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (x^x) = x \ln x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

(2) $y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ の微分

対数微分法を用いる。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} = \frac{1}{2} \ln \frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1}{2} (\ln(1-x^2) - \ln(1+x^2))$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{-2x}{1-x^2} - \frac{2x}{1+x^2}) = \frac{1}{2} (\frac{-2x(1+x^2) - 2x(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}) = \frac{1}{2} (\frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{1-x^4}) = \frac{-4x}{2(1-x^4)} = \frac{-2x}{1-x^4}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y \frac{-2x}{1-x^4} = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{1-x^4} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{(1-x^2)(1+x^2)} = \frac{-2x}{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}(1-x^2) (1+x^2)^{\frac{1}{2}}(1+x^2)} = \frac{-2x}{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}(1-x^2) (1+x^2)^{\frac{1}{2}}(1+x^2)} = \frac{-2x}{\sqrt{(1-x^2)^3 (1+x^2)^3}} = \frac{-2x}{(1-x^4)\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}} = \frac{-2x}{(1-x^4)\sqrt{\frac{(1-x^2)}{(1+x^2)}}}$

最終的に

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{(1-x^4)} \sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $x^x (\ln x + 1)$

(2) $\frac{-2x}{(1-x^4)} \sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$

あるいは

(2) $\frac{-2x}{(1-x^4)} \sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$