ロピタルの定理を用いて、以下の極限値を求めます。 a) $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$ b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}$

1. 問題の内容

ロピタルの定理を用いて、以下の極限値を求めます。

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}$

2. 解き方の手順

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$

$x \to 0$ のとき、$\arctan x \to 0$ かつ $x \to 0$ となるので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。$\arctan x$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ であり、$x$ の微分は $1$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x^2}$

$x \to 0$ のとき、$1+x^2 \to 1$ となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+0^2} = 1$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}$

$x \to 0$ のとき、$e^x - x - 1 \to e^0 - 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0$ かつ $x^2 \to 0$ となるので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。$e^x - x - 1$ の微分は $e^x - 1$ であり、$x^2$ の微分は $2x$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$

$x \to 0$ のとき、$e^x - 1 \to e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$ かつ $2x \to 0$ となるので、再び $\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を再度適用します。$e^x - 1$ の微分は $e^x$ であり、$2x$ の微分は $2$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2}$

$x \to 0$ のとき、$e^x \to e^0 = 1$ となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \frac{1}{2}$