関数 $z = x^2 + xy + 2y^2 + x - 3y$ の極値の有無を調べ、極値が存在する場合はその値を求める。

1. 問題の内容

関数 $z = x^2 + xy + 2y^2 + x - 3y$ の極値の有無を調べ、極値が存在する場合はその値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$z$ を $x$ と $y$ でそれぞれ偏微分する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y + 1$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x + 4y - 3$

(2) 次に、連立方程式 $\frac{\partial z}{\partial x} = 0$ かつ $\frac{\partial z}{\partial y} = 0$ を解き、停留点を求める。

$2x + y + 1 = 0$

$x + 4y - 3 = 0$

この連立方程式を解く。

2番目の式から $x = 3 - 4y$ を得て、これを最初の式に代入する。

$2(3 - 4y) + y + 1 = 0$

$6 - 8y + y + 1 = 0$

$-7y + 7 = 0$

$y = 1$

$x = 3 - 4(1) = -1$

したがって、停留点は $(-1, 1)$ である。

(3) ヘッセ行列を計算し、停留点における極値判定を行う。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 4$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 1$

ヘッセ行列 $H$ は

$H = \begin{pmatrix}

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\

\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

2 & 1 \\

1 & 4

\end{pmatrix}$

ヘッセ行列の行列式 $D$ を計算する。

$D = (2)(4) - (1)(1) = 8 - 1 = 7$

$D > 0$ かつ $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2 > 0$ であるから、停留点 $(-1, 1)$ で極小値をとる。

(4) 極小値を計算する。

$z(-1, 1) = (-1)^2 + (-1)(1) + 2(1)^2 + (-1) - 3(1) = 1 - 1 + 2 - 1 - 3 = -2$

3. 最終的な答え

関数 $z$ は $(-1, 1)$ で極小値 $-2$ をとる。