与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x \to +0} \left[ \frac{1}{x} + \ln x \right]$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to +0} \left[ \frac{1}{x} + \ln x \right]$$

2. 解き方の手順

まず、極限の中身の式を一つの分数にまとめます。

$$\frac{1}{x} + \ln x = \frac{1 + x \ln x}{x}$$

したがって、求める極限は

$$\lim_{x \to +0} \frac{1 + x \ln x}{x}$$

この式をそのまま評価すると、分子は $1 + 0 \cdot (-\infty)$となり、分母は0に近づきます。不定形にならないように、分子の$x \ln x$の部分の極限を計算します。

$y = 1/x$と置換すると、$x \to +0$のとき、$y \to +\infty$となります。したがって、

$$\lim_{x \to +0} x \ln x = \lim_{y \to +\infty} \frac{1}{y} \ln \frac{1}{y} = \lim_{y \to +\infty} \frac{-\ln y}{y}$$

これは$\frac{-\infty}{\infty}$の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$$\lim_{y \to +\infty} \frac{-\ln y}{y} = \lim_{y \to +\infty} \frac{-1/y}{1} = \lim_{y \to +\infty} \frac{-1}{y} = 0$$

したがって、$\lim_{x \to +0} x \ln x = 0$です。

よって、求める極限は

$$\lim_{x \to +0} \frac{1 + x \ln x}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{1 + 0}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{x} = +\infty$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to +0} \left[ \frac{1}{x} + \ln x \right] = +\infty$$