与えられた3つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \sin^2 x \cos^2 x$ (2) $y = \sqrt{1+\sin^2 x}$ (3) $y = \log |\cos x|$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = \sin^2 x \cos^2 x$

(2) $y = \sqrt{1+\sin^2 x}$

(3) $y = \log |\cos x|$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^2 x \cos^2 x$ の微分

まず、$y = \sin^2 x \cos^2 x = (\sin x \cos x)^2 = \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x$ と変形します。

次に、合成関数の微分を行います。

$y' = \frac{1}{4} \cdot 2 \sin 2x \cdot (\sin 2x)' = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot (2 \cos 2x) = \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$

(2) $y = \sqrt{1+\sin^2 x}$ の微分

合成関数の微分を行います。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+\sin^2 x}} \cdot (1+\sin^2 x)' = \frac{1}{2\sqrt{1+\sin^2 x}} \cdot (2 \sin x \cos x) = \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}} = \frac{\frac{1}{2}\sin 2x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}$

(3) $y = \log |\cos x|$ の微分

合成関数の微分を行います。

$y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (\cos x)' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = - \frac{\sin x}{\cos x} = - \tan x$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{2} \sin 4x$

(2) $y' = \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}} = \frac{\frac{1}{2}\sin 2x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}$

(3) $y' = - \tan x$