$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 - \cos x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 - \cos x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、この極限をそのまま計算しようとすると、$\frac{0}{0}$ の不定形になります。

そこで、分母と分子に $1 + \cos x$ を掛けて式を変形します。

\begin{align*}

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 - \cos x} &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 + \cos x)}{\sin^2 x} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos x}{\sin x}

\end{align*}

ここで、$x \to 0$ のとき、$1 + \cos x \to 2$ であり、$\sin x \to 0$ であるため、$\frac{2}{0}$ の形になります。

$\sin x$ の符号を考慮すると、

$x \to 0^+$ のとき、$\sin x > 0$ なので、$\frac{1 + \cos x}{\sin x} \to +\infty$

$x \to 0^-$ のとき、$\sin x < 0$ なので、$\frac{1 + \cos x}{\sin x} \to -\infty$

したがって、右側極限と左側極限が一致しないため、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しない