次の極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 2x}{3x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{3x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{3}$

$x \to 0$ のとき $2x \to 0$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin 5x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{1}{\frac{\sin 5x}{3x}} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{1}{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5x}{3x}} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{1}{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5}{3}}$

$x \to 0$ のとき $3x \to 0$ かつ $5x \to 0$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ かつ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{1}{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5}{3}} = 1 \cdot \frac{1}{1 \cdot \frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $1$

(3) $\frac{3}{5}$