与えられた2つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x}{\cos x - 1}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x}{\cos x - 1}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$を計算します。

$1 - \cos x$ を $1 + \cos x$ で分子と分母にかけます。

$\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x^2 (1 + \cos x)} = \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2 (1 + \cos x)}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \lim_{x\to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{1 + \cos x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ なので、

$\lim_{x\to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 = 1^2 = 1$

$\lim_{x\to 0} \frac{1}{1 + \cos x} = \frac{1}{1 + \cos 0} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(2)

$\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x}{\cos x - 1}$を計算します。

$\cos x - 1$ を $\cos x + 1$ で分子と分母にかけます。

$\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x}{\cos x - 1} = \lim_{x\to 0} \frac{x \sin x (\cos x + 1)}{(\cos x - 1)(\cos x + 1)} = \lim_{x\to 0} \frac{x \sin x (\cos x + 1)}{\cos^2 x - 1} = \lim_{x\to 0} \frac{x \sin x (\cos x + 1)}{-\sin^2 x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x (\cos x + 1)}{-\sin^2 x} = \lim_{x\to 0} \frac{x (\cos x + 1)}{-\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{-\sin x} \cdot \lim_{x\to 0} (\cos x + 1)$

$\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ なので、

$\lim_{x\to 0} \frac{x}{-\sin x} = -1$

$\lim_{x\to 0} (\cos x + 1) = \cos 0 + 1 = 1 + 1 = 2$

よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x}{\cos x - 1} = -1 \cdot 2 = -2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $-2$