与えられた関数を微分する問題です。 具体的には、次の関数を微分します。 (a) $\cos(2x)$ (b) $\sin^2(x)$ (d) $\frac{\cos x}{\sin x}$ (これは $\cot x$ と同じです)

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

具体的には、次の関数を微分します。

(a) $\cos(2x)$

(b) $\sin^2(x)$

(d) $\frac{\cos x}{\sin x}$ (これは $\cot x$ と同じです)

2. 解き方の手順

(a) $\cos(2x)$ の微分

$\cos u$ の微分は $-\sin u$ であり、$u = 2x$ なので、連鎖律を用いて微分します。

$\frac{d}{dx} \cos(2x) = -\sin(2x) \cdot \frac{d}{dx} (2x) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$

(b) $\sin^2(x)$ の微分

$(\sin x)^2$ の微分なので、これも連鎖律を使います。$u^2$ の微分は $2u$ なので、$u = \sin x$ とします。

$\frac{d}{dx} \sin^2(x) = 2\sin(x) \cdot \frac{d}{dx} \sin(x) = 2\sin(x) \cos(x)$

これは倍角の公式を使うと $\sin(2x)$ と書けます。

(d) $\frac{\cos x}{\sin x}$ の微分

これは $\cot x$ の微分と同じです。商の微分公式を使います。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \cos x$, $v = \sin x$ とすると、

$u' = -\sin x$, $v' = \cos x$

$\frac{d}{dx} \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{d}{dx} \cos(2x) = -2\sin(2x)$

(b) $\frac{d}{dx} \sin^2(x) = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$

(d) $\frac{d}{dx} \frac{\cos x}{\sin x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$