$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき、関数 $y = x^2 + 2x - 1$ の平均変化率を求めます。

1. 問題の内容

$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき、関数 $y = x^2 + 2x - 1$ の平均変化率を求めます。

2. 解き方の手順

平均変化率は、変化の割合を表します。具体的には、$x$ が $a$ から $b$ に変化するときの $y$ の変化量を、$x$ の変化量で割ったものです。

まず、$x=a$ のときの $y$ の値を計算します。

$y(a) = a^2 + 2a - 1$

次に、$x=b$ のときの $y$ の値を計算します。

$y(b) = b^2 + 2b - 1$

$y$ の変化量は、$y(b) - y(a)$ で計算できます。

$y(b) - y(a) = (b^2 + 2b - 1) - (a^2 + 2a - 1) = b^2 - a^2 + 2b - 2a$

$x$ の変化量は、$b - a$ で計算できます。

平均変化率は、$\frac{y(b) - y(a)}{b - a}$ で計算できます。

$\frac{y(b) - y(a)}{b - a} = \frac{b^2 - a^2 + 2b - 2a}{b - a}$

ここで、$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$ を利用して式を整理します。

$\frac{(b - a)(b + a) + 2(b - a)}{b - a} = \frac{(b - a)(b + a + 2)}{b - a}$

$b - a \ne 0$ であるから、約分して、

$b + a + 2$

3. 最終的な答え

$a + b + 2$