数列 $\{ \frac{1-r^n}{1+r^n} \}$ の極限を、次の4つの場合について求めます。 (1) $r > 1$ (2) $r = 1$ (3) $|r| < 1$ (4) $r < -1$

1. 問題の内容

数列 $\{ \frac{1-r^n}{1+r^n} \}$ の極限を、次の4つの場合について求めます。

(1) $r > 1$

(2) $r = 1$

(3) $|r| < 1$

(4) $r < -1$

2. 解き方の手順

(1) $r > 1$ の場合

$r^n$ は $n \to \infty$ で無限大に発散します。分子と分母を $r^n$ で割ります。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1-r^n}{1+r^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{r^n} - 1}{\frac{1}{r^n} + 1}$$

$r > 1$ より、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{r^n} = 0$ です。よって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{r^n} - 1}{\frac{1}{r^n} + 1} = \frac{0-1}{0+1} = -1$$

(2) $r = 1$ の場合

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1-1^n}{1+1^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-1}{1+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{0}{2} = 0$$

(3) $|r| < 1$ の場合

$|r| < 1$ より、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ です。よって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1-r^n}{1+r^n} = \frac{1-0}{1+0} = 1$$

(4) $r < -1$ の場合

$r < -1$ のとき、$r^n$ は振動し、$\lim_{n \to \infty} r^n$ は存在しません。

分子と分母を $r^n$ で割ると、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1-r^n}{1+r^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{r^n} - 1}{\frac{1}{r^n} + 1}$$

$r < -1$ より、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{r^n} = 0$ とはなりません（振動します）。

数列の極限が存在しない場合、$\lim_{n \to \infty} \frac{1-r^n}{1+r^n}$ は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $r > 1$ のとき：-1

(2) $r = 1$ のとき：0

(3) $|r| < 1$ のとき：1

(4) $r < -1$ のとき：極限は存在しない