* a) $f(x, y) = x + xy + 2y^2$ * b) $f(x, y) = \ln(1 + xy)$

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1. 問題の内容

与えられた複数の関数について、以下の問題を解きます。

1. 2変数関数 $f(x, y)$ の $(1, 2)$ における2次のテイラー展開を求めます。

* a) $f(x, y) = x + xy + 2y^2$

* b) $f(x, y) = \ln(1 + xy)$

2. 2変数関数 $f(x, y)$ の極大点・極小点の候補を求めます。

* a) $f(x, y) = x^2 + 4xy - y^2 - 8x - 6y$

* b) $f(x, y) = (x + y)e^{-xy}$

3. 2変数関数 $f(x, y)$ が何次の同次関数であるかを示し、オイラーの公式が成り立つことを確認します。

* a) $f(x, y) = x^m y^{2-m}$

* b) $f(x, y) = \ln\left(\frac{x}{y}\right)$

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2. 解き方の手順

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1. テイラー展開

2変数関数 $f(x,y)$ の $(a,b)$ 周りでの2次のテイラー展開は以下の式で表されます。

$f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) + \frac{1}{2}f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + \frac{1}{2}f_{yy}(a,b)(y-b)^2$

ここで、$f_x$ は $f$ の $x$ に関する偏微分、$f_y$ は $f$ の $y$ に関する偏微分、$f_{xx}$ は $f$ の $x$ に関する2階偏微分、$f_{yy}$ は $f$ の $y$ に関する2階偏微分、$f_{xy}$ は $x$ と $y$ に関する2階偏微分を表します。

**a) $f(x, y) = x + xy + 2y^2$ の場合**

1. 偏微分を計算します。

$f_x = 1 + y$

$f_y = x + 4y$

$f_{xx} = 0$

$f_{xy} = 1$

$f_{yy} = 4$

2. $(1, 2)$ における値を計算します。

$f(1, 2) = 1 + 1\cdot2 + 2\cdot2^2 = 1 + 2 + 8 = 11$

$f_x(1, 2) = 1 + 2 = 3$

$f_y(1, 2) = 1 + 4\cdot2 = 9$

$f_{xx}(1, 2) = 0$

$f_{xy}(1, 2) = 1$

$f_{yy}(1, 2) = 4$

3. テイラー展開の式に代入します。

$f(x, y) \approx 11 + 3(x - 1) + 9(y - 2) + \frac{1}{2}(0)(x - 1)^2 + (1)(x - 1)(y - 2) + \frac{1}{2}(4)(y - 2)^2$

$f(x, y) \approx 11 + 3(x - 1) + 9(y - 2) + (x - 1)(y - 2) + 2(y - 2)^2$

**b) $f(x, y) = \ln(1 + xy)$ の場合**

1. 偏微分を計算します。

$f_x = \frac{y}{1 + xy}$

$f_y = \frac{x}{1 + xy}$

$f_{xx} = -\frac{y^2}{(1 + xy)^2}$

$f_{xy} = \frac{1}{(1 + xy)} - \frac{xy}{(1 + xy)^2} = \frac{1 + xy - xy}{(1 + xy)^2} = \frac{1}{(1 + xy)^2}$

$f_{yy} = -\frac{x^2}{(1 + xy)^2}$

2. $(1, 2)$ における値を計算します。

$f(1, 2) = \ln(1 + 1\cdot2) = \ln(3)$

$f_x(1, 2) = \frac{2}{1 + 1\cdot2} = \frac{2}{3}$

$f_y(1, 2) = \frac{1}{1 + 1\cdot2} = \frac{1}{3}$

$f_{xx}(1, 2) = -\frac{2^2}{(1 + 1\cdot2)^2} = -\frac{4}{9}$

$f_{xy}(1, 2) = \frac{1}{(1 + 1\cdot2)^2} = \frac{1}{9}$

$f_{yy}(1, 2) = -\frac{1^2}{(1 + 1\cdot2)^2} = -\frac{1}{9}$

3. テイラー展開の式に代入します。

$f(x, y) \approx \ln(3) + \frac{2}{3}(x - 1) + \frac{1}{3}(y - 2) + \frac{1}{2}\left(-\frac{4}{9}\right)(x - 1)^2 + \frac{1}{9}(x - 1)(y - 2) + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{9}\right)(y - 2)^2$

$f(x, y) \approx \ln(3) + \frac{2}{3}(x - 1) + \frac{1}{3}(y - 2) - \frac{2}{9}(x - 1)^2 + \frac{1}{9}(x - 1)(y - 2) - \frac{1}{18}(y - 2)^2$

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2. 極値の候補

極値（極大値または極小値）の候補を見つけるためには、以下のステップに従います。

1. 偏微分 $f_x$ と $f_y$ を計算します。

2. $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる点 $(x, y)$ を求めます。これらの点が極値の候補となります。

**a) $f(x, y) = x^2 + 4xy - y^2 - 8x - 6y$ の場合**

1. 偏微分を計算します。

$f_x = 2x + 4y - 8$

$f_y = 4x - 2y - 6$

2. $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解きます。

$2x + 4y - 8 = 0 \Rightarrow x + 2y = 4$

$4x - 2y - 6 = 0 \Rightarrow 2x - y = 3$

連立方程式を解くと、$x = 2$, $y = 1$ となります。

したがって、極値の候補は $(2, 1)$ です。

**b) $f(x, y) = (x + y)e^{-xy}$ の場合**

1. 偏微分を計算します。

$f_x = e^{-xy} + (x + y)(-y)e^{-xy} = e^{-xy}(1 - xy - y^2)$

$f_y = e^{-xy} + (x + y)(-x)e^{-xy} = e^{-xy}(1 - x^2 - xy)$

2. $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解きます。$e^{-xy}$ は常に正なので、$1 - xy - y^2 = 0$ と $1 - x^2 - xy = 0$ を解けばよいです。

$1 - xy - y^2 = 0$

$1 - x^2 - xy = 0$

2つの式から $xy$ を消去します。

$1 - y^2 = 1 - x^2$ となり、$x^2 = y^2$　です。したがって、$x = y$ または $x = -y$。

* $x = y$ の場合：$1 - x^2 - x^2 = 0 \Rightarrow 1 - 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.

したがって、$(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ と $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ が候補です。

* $x = -y$ の場合：$1 + y^2 + y^2 = 0 \Rightarrow 1 + 2y^2 = 0$. この方程式は実数解を持たないため、候補はありません。

したがって、極値の候補は $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ と $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ です。

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3. 同次関数とオイラーの公式

関数 $f(x, y)$ が $k$ 次の同次関数であるとは、任意の $t > 0$ に対して $f(tx, ty) = t^k f(x, y)$ が成り立つことをいいます。

オイラーの公式は、 $f(x, y)$ が $k$ 次の同次関数であるとき、以下の式が成り立つことを示します。

$x f_x(x, y) + y f_y(x, y) = k f(x, y)$

**a) $f(x, y) = x^m y^{2-m}$ の場合**

1. $f(tx, ty)$ を計算します。

$f(tx, ty) = (tx)^m (ty)^{2-m} = t^m x^m t^{2-m} y^{2-m} = t^{m + 2 - m} x^m y^{2-m} = t^2 x^m y^{2-m} = t^2 f(x, y)$

したがって、$f(x, y)$ は2次の同次関数です。

2. オイラーの公式を確認します。

$f_x = mx^{m-1} y^{2-m}$

$f_y = (2-m)x^m y^{1-m}$

$x f_x + y f_y = x(mx^{m-1} y^{2-m}) + y((2-m)x^m y^{1-m}) = mx^m y^{2-m} + (2-m)x^m y^{2-m} = (m + 2 - m)x^m y^{2-m} = 2x^m y^{2-m} = 2f(x, y)$

したがって、オイラーの公式が成り立ちます。

**b) $f(x, y) = \ln\left(\frac{x}{y}\right)$ の場合**

1. $f(tx, ty)$ を計算します。

$f(tx, ty) = \ln\left(\frac{tx}{ty}\right) = \ln\left(\frac{x}{y}\right) = f(x, y) = t^0 f(x,y)$

したがって、$f(x, y)$ は0次の同次関数です。

2. オイラーの公式を確認します。

$f_x = \frac{1}{\frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{x}$

$f_y = \frac{1}{\frac{x}{y}} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = \frac{y}{x} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{1}{y}$

$x f_x + y f_y = x\left(\frac{1}{x}\right) + y\left(-\frac{1}{y}\right) = 1 - 1 = 0 = 0 \cdot f(x, y)$

したがって、オイラーの公式が成り立ちます。

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3. 最終的な答え

1. **テイラー展開**

* a) $f(x, y) \approx 11 + 3(x - 1) + 9(y - 2) + (x - 1)(y - 2) + 2(y - 2)^2$

* b) $f(x, y) \approx \ln(3) + \frac{2}{3}(x - 1) + \frac{1}{3}(y - 2) - \frac{2}{9}(x - 1)^2 + \frac{1}{9}(x - 1)(y - 2) - \frac{1}{18}(y - 2)^2$

2. **極値の候補**

* a) $(2, 1)$

* b) $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$, $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$

3. **同次関数とオイラーの公式**

* a) 2次の同次関数。オイラーの公式は成り立つ。

* b) 0次の同次関数。オイラーの公式は成り立つ。