関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ について、$x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を微分の定義に従って求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ について、$x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を微分の定義に従って求めよ。

2. 解き方の手順

微分の定義は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

この問題では $a=2$ なので、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

まず、$f(2+h)$ と $f(2)$ を計算します。

$f(2+h) = (2+h)^2 - 2(2+h) + 1 = 4 + 4h + h^2 - 4 - 2h + 1 = h^2 + 2h + 1$

$f(2) = 2^2 - 2(2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$

したがって、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 + 2h + 1) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 2h}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{h(h + 2)}{h} = \lim_{h \to 0} (h + 2)$

$h \to 0$ のとき、$h+2 \to 2$ となるので、

$f'(2) = 2$

3. 最終的な答え

2