数列 $\{ \frac{1 - r^n}{1 + r^n} \}$ の極限を、$r > 1$, $r = 1$, $|r| < 1$, $r < -1$ のそれぞれの場合について求める。

1. 問題の内容

数列 $\{ \frac{1 - r^n}{1 + r^n} \}$ の極限を、$r > 1$, $r = 1$, $|r| < 1$, $r < -1$ のそれぞれの場合について求める。

2. 解き方の手順

(1) $r > 1$ のとき:

$r > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$ である。したがって、

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\lim_{n \to \infty} \frac{1 - r^n}{1 + r^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{r^n} - 1}{\frac{1}{r^n} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1

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(2) $r = 1$ のとき:

数列は $\frac{1 - 1^n}{1 + 1^n} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$ となる。したがって、

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\lim_{n \to \infty} \frac{1 - 1^n}{1 + 1^n} = 0

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(3) $|r| < 1$ のとき:

$|r| < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ である。したがって、

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\lim_{n \to \infty} \frac{1 - r^n}{1 + r^n} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1

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(4) $r < -1$ のとき:

$r < -1$ なので、$\lim_{n \to \infty} r^n$ は振動する。

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\frac{1 - r^n}{1 + r^n} = \frac{\frac{1}{r^n} - 1}{\frac{1}{r^n} + 1}

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ここで $r^n$ は $n$ が偶数のときに正で絶対値が増大し、 $n$ が奇数のときに負で絶対値が増大する。したがって$\frac{1}{r^n}$は $0$ に近づく。

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\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{r^n} - 1}{\frac{1}{r^n} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1

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3. 最終的な答え

(1) $r > 1$ のとき: $-1$

(2) $r = 1$ のとき: $0$

(3) $|r| < 1$ のとき: $1$

(4) $r < -1$ のとき: $-1$