与えられた積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を平方完成します。

$x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2 + 2}} dx$

ここで、$x-1 = \sqrt{2} \sinh(u)$ と置換します。

すると、$dx = \sqrt{2} \cosh(u) du$ となります。

積分は次のようになります。

$\int \frac{\sqrt{2} \cosh(u)}{\sqrt{2\sinh^2(u) + 2}} du$

$\sqrt{2}$ でくくると、

$\int \frac{\sqrt{2} \cosh(u)}{\sqrt{2}\sqrt{\sinh^2(u) + 1}} du$

$\sqrt{\sinh^2(u) + 1} = \cosh(u)$ であるから

$\int \frac{\sqrt{2} \cosh(u)}{\sqrt{2} \cosh(u)} du = \int 1 du = u + C$

置換した変数に戻すには、$x-1 = \sqrt{2} \sinh(u)$ より $\sinh(u) = \frac{x-1}{\sqrt{2}}$ なので $u = \mathrm{arcsinh} \left( \frac{x-1}{\sqrt{2}} \right)$.

あるいは、公式

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \mathrm{arcsinh}(\frac{x}{a}) + C = \log(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C$ を利用します。

ここでは、$\int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2 + 2}} dx$ なので、 $x$ の代わりに $x-1$, $a = \sqrt{2}$ を代入して

$\mathrm{arcsinh}(\frac{x-1}{\sqrt{2}}) + C = \log(x-1+\sqrt{(x-1)^2+2}) + C = \log(x-1+\sqrt{x^2-2x+3}) + C$

3. 最終的な答え

$\mathrm{arcsinh} \left( \frac{x-1}{\sqrt{2}} \right) + C = \log(x-1+\sqrt{x^2-2x+3}) + C$