与えられた5つの極限値を求める問題です。具体的には、 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$ (2) $\lim_{x\to 1} \frac{\log x}{1-x}$ (3) $\lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{e^{2x}}$ (4) $\lim_{x\to \infty} x^{\frac{1}{x}}$ (5) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \left( \tan x - \frac{1}{\cos x} \right)$ をそれぞれ計算します。

1. 問題の内容

与えられた5つの極限値を求める問題です。具体的には、

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$

(2) $\lim_{x\to 1} \frac{\log x}{1-x}$

(3) $\lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{e^{2x}}$

(4) $\lim_{x\to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

(5) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \left( \tan x - \frac{1}{\cos x} \right)$

をそれぞれ計算します。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$

ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x\to 1} \frac{\log x}{1-x}$

ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 1} \frac{\log x}{1-x} = \lim_{x\to 1} \frac{1/x}{-1} = \lim_{x\to 1} -\frac{1}{x} = -1$

(3) $\lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{e^{2x}}$

ロピタルの定理を2回適用します。

$\lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{e^{2x}} = \lim_{x\to \infty} \frac{2x}{2e^{2x}} = \lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^{2x}} = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{2e^{2x}} = 0$

(4) $\lim_{x\to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

$y = x^{\frac{1}{x}}$とおくと、$\log y = \frac{1}{x} \log x = \frac{\log x}{x}$。

$\lim_{x\to \infty} \frac{\log x}{x}$をロピタルの定理で計算します。

$\lim_{x\to \infty} \frac{\log x}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$。

よって、$\lim_{x\to \infty} \log y = 0$より、$\lim_{x\to \infty} y = e^0 = 1$。

(5) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \left( \tan x - \frac{1}{\cos x} \right)$

$\tan x - \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x - 1}{\cos x}$

ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \frac{\sin x - 1}{\cos x} = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \frac{\cos x}{-\sin x} = \frac{0}{-1} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $-1$

(3) $0$

(4) $1$

(5) $0$