微分可能な関数 $f(x)$と$g(x)$において、$f'(x) = g'(x)$のとき、$f(x) = g(x) + C$（ただし、$C$は定数）となることを証明してください。

1. 問題の内容

微分可能な関数 $f(x)$と$g(x)$において、$f'(x) = g'(x)$のとき、$f(x) = g(x) + C$（ただし、$C$は定数）となることを証明してください。

2. 解き方の手順

$f'(x) = g'(x)$という条件から、差の関数を考えると証明しやすくなります。

まず、関数$h(x)$を次のように定義します。

$h(x) = f(x) - g(x)$

この関数$h(x)$を微分すると、

$h'(x) = f'(x) - g'(x)$

問題の条件$f'(x) = g'(x)$より、

$h'(x) = 0$

$h'(x)=0$であるということは、$h(x)$は定数関数であることを意味します。

したがって、$h(x) = C$（$C$は定数）と表すことができます。

$f(x) - g(x) = C$

この式を整理すると、

$f(x) = g(x) + C$

これで、$f(x) = g(x) + C$（ただし、$C$は定数）が証明できました。

3. 最終的な答え

$f(x) = g(x) + C$（ただし、$C$は定数）