与えられた関数を微分する問題です。 a) $f(x) = \log\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)$ b) $g(x) = \log\left(\frac{\cos^2 x}{e^{x^2}}\right)$ ただし、$\log$ は自然対数とします。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

a) $f(x) = \log\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)$

b) $g(x) = \log\left(\frac{\cos^2 x}{e^{x^2}}\right)$

ただし、$\log$ は自然対数とします。

2. 解き方の手順

a) $f(x) = \log\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)$ を微分します。

まず、対数の性質を使って関数を簡単にします。

$f(x) = \log(2x) - \log(x^2+1)$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx}\log(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx}\log(x^2+1) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$

したがって、

$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x^2+1 - 2x^2}{x(x^2+1)} = \frac{1-x^2}{x(x^2+1)}$

b) $g(x) = \log\left(\frac{\cos^2 x}{e^{x^2}}\right)$ を微分します。

まず、対数の性質を使って関数を簡単にします。

$g(x) = \log(\cos^2 x) - \log(e^{x^2}) = 2\log(\cos x) - x^2$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx}2\log(\cos x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -2\tan x$

$\frac{d}{dx}x^2 = 2x$

したがって、

$g'(x) = -2\tan x - 2x = -2(\tan x + x)$

3. 最終的な答え

a) $f'(x) = \frac{1-x^2}{x(x^2+1)}$

b) $g'(x) = -2(\tan x + x)$