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$n$ を自然数とするとき、関数 $f(x) = x^{\frac{1}{n}}$ を微分する。

解析学微分べき関数微分公式指数
2025/7/1

1. 問題の内容

nn を自然数とするとき、関数 f(x)=x1nf(x) = x^{\frac{1}{n}} を微分する。

2. 解き方の手順

べき関数の微分公式 ddxxr=rxr−1\frac{d}{dx} x^r = r x^{r-1} を使う。ここで r=1nr = \frac{1}{n} である。
よって、
ddxf(x)=ddxx1n=1nx1n−1\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} x^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n} - 1}
指数を整理すると、
1n−1=1n−nn=1−nn\frac{1}{n} - 1 = \frac{1}{n} - \frac{n}{n} = \frac{1-n}{n}
したがって、
ddxf(x)=1nx1−nn\frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{n} x^{\frac{1-n}{n}}

3. 最終的な答え

1nx1−nn\frac{1}{n} x^{\frac{1-n}{n}}

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