数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1, \ a_{n+1} = -\frac{1}{3}a_n + 1 \ (n = 1, 2, 3, \dots)$ によって定められるとき、この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1, \ a_{n+1} = -\frac{1}{3}a_n + 1 \ (n = 1, 2, 3, \dots)$ によって定められるとき、この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ が存在すると仮定し、その値を $\alpha$ とする。すなわち、$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ とおく。

$n \to \infty$ のとき、$a_{n+1} \to \alpha$ および $a_n \to \alpha$ であるから、漸化式 $a_{n+1} = -\frac{1}{3}a_n + 1$ において、$n \to \infty$ とすると、

$\alpha = -\frac{1}{3}\alpha + 1$

という関係式が得られる。これを $\alpha$ について解くと、

$\alpha + \frac{1}{3}\alpha = 1$

$\frac{4}{3}\alpha = 1$

$\alpha = \frac{3}{4}$

したがって、もし極限が存在するならば、その値は $\frac{3}{4}$ である。

次に、数列 $\{a_n\}$ が実際に $\frac{3}{4}$ に収束することを示す。

漸化式 $a_{n+1} = -\frac{1}{3}a_n + 1$ から $\alpha = \frac{3}{4}$ を引くと、

$a_{n+1} - \alpha = -\frac{1}{3}a_n + 1 - \alpha$

$a_{n+1} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{3}a_n + 1 - \frac{3}{4}$

$a_{n+1} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{3}a_n + \frac{1}{4}$

$a_{n+1} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{3}\left(a_n - \frac{3}{4}\right)$

ここで、$b_n = a_n - \frac{3}{4}$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 - \frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$、公比 $-\frac{1}{3}$ の等比数列となる。

よって、$b_n = \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ である。

したがって、

$a_n - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

$a_n = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} = 0$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$