関数 $f(x,y)$ と $g(x,y)$ が与えられています。 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ $g(x,y) = \begin{cases} \frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ これらの関数が原点$(0,0)$で連続かどうかを判定します。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ と $g(x,y)$ が与えられています。

$f(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

$g(x,y) = \begin{cases} \frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

これらの関数が原点$(0,0)$で連続かどうかを判定します。

2. 解き方の手順

関数が原点で連続であるためには、原点における極限値が存在し、その極限値が関数の原点における値と一致する必要があります。

(1) $f(x,y)$ について

まず、$y=mx$ に沿って原点に近づくときの極限を調べます。

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2x^2}{x^2+y^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2+(mx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2(1+m^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{1+m^2} = \frac{2}{1+m^2}$

この極限値は $m$ の値によって異なるため、原点への近づき方によって値が異なります。したがって、$f(x,y)$ は原点で連続ではありません。

(2) $g(x,y)$ について

$g(x,y)$ を極座標表示 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ で表します。

$\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{2(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}} = \frac{2r^2\cos\theta\sin\theta}{r} = 2r\cos\theta\sin\theta = r\sin(2\theta)$

原点に近づくとき、$r \to 0$ なので、

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} g(x,y) = \lim_{r \to 0} r\sin(2\theta) = 0$

これは、$\theta$ の値に関わらず $0$ に収束します。

また、$g(0,0) = 0$ なので、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} g(x,y) = g(0,0) = 0$ が成り立ちます。

したがって、$g(x,y)$ は原点で連続です。

3. 最終的な答え

原点で連続な関数は $g(x,y)$ です。