$\int \sin 2x \cos 4x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \sin 2x \cos 4x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の積和の公式を利用します。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

この公式を適用すると、

$\sin 2x \cos 4x = \frac{1}{2} [\sin(2x+4x) + \sin(2x-4x)] = \frac{1}{2} [\sin 6x + \sin(-2x)]$

$\sin(-2x) = -\sin 2x$ なので、

$\sin 2x \cos 4x = \frac{1}{2} [\sin 6x - \sin 2x]$

したがって、

$\int \sin 2x \cos 4x \, dx = \int \frac{1}{2} [\sin 6x - \sin 2x] \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 6x - \sin 2x) \, dx$

$= \frac{1}{2} \left[ \int \sin 6x \, dx - \int \sin 2x \, dx \right]$

$\int \sin ax \, dx = -\frac{1}{a} \cos ax + C$ を利用すると、

$\int \sin 6x \, dx = -\frac{1}{6} \cos 6x + C_1$

$\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C_2$

したがって、

$\frac{1}{2} \left[ \int \sin 6x \, dx - \int \sin 2x \, dx \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{6} \cos 6x - (-\frac{1}{2} \cos 2x) \right] + C$

$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{6} \cos 6x + \frac{1}{2} \cos 2x \right] + C = -\frac{1}{12} \cos 6x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{12} \cos 6x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$