問題3のaとbを解きます。 a) $\lim_{x\to 0} \frac{\arctan(x)}{x}$ b) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}$ ロピタルの定理を用いて、これらの極限を求めます。

1. 問題の内容

問題3のaとbを解きます。

a) $\lim_{x\to 0} \frac{\arctan(x)}{x}$

b) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}$

ロピタルの定理を用いて、これらの極限を求めます。

2. 解き方の手順

a) $\lim_{x\to 0} \frac{\arctan(x)}{x}$

まず、$x=0$を代入すると、$\frac{\arctan(0)}{0} = \frac{0}{0}$となり、不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

$\arctan(x)$の微分は$\frac{1}{1+x^2}$です。したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{\arctan(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{1+x^2}$

$x=0$を代入すると、

$\frac{1}{1+0^2} = 1$

b) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}$

まず、$x=0$を代入すると、$\frac{e^0 - 0 - 1}{0^2} = \frac{1-0-1}{0} = \frac{0}{0}$となり、不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

$e^x - x - 1$の微分は$e^x - 1$です。$x^2$の微分は$2x$です。したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$

$x=0$を代入すると、$\frac{e^0 - 1}{2(0)} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$となり、まだ不定形です。したがって、ロピタルの定理を再度適用します。

$e^x - 1$の微分は$e^x$です。$2x$の微分は$2$です。したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x}{2}$

$x=0$を代入すると、

$\frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

a) 1

b) 1/2