(1) $\int (3x^2 - x)e^x dx = e^x (\text{①}x^2 + \text{②}x + \text{③}) + C$ における①、②、③の値を求める。 (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx = \frac{\text{④}}{\text{⑤}}$ における④、⑤の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\int (3x^2 - x)e^x dx = e^x (\text{①}x^2 + \text{②}x + \text{③}) + C$ における①、②、③の値を求める。

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx = \frac{\text{④}}{\text{⑤}}$ における④、⑤の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた式から、左辺の積分を実行して右辺と比較することで①、②、③の値を求めます。

部分積分を行います。まず、$e^x$を積分して、$3x^2-x$を微分します。

$\int (3x^2 - x)e^x dx = (3x^2-x)e^x - \int (6x-1)e^x dx$

$= (3x^2-x)e^x - (6x-1)e^x + \int 6e^x dx$

$= (3x^2-x)e^x - (6x-1)e^x + 6e^x + C$

$= (3x^2 - x - 6x + 1 + 6)e^x + C$

$= (3x^2 - 7x + 7)e^x + C$

ここで与えられた式と比較すると、

$e^x (\text{①}x^2 + \text{②}x + \text{③}) = (3x^2 - 7x + 7)e^x$

したがって、①=3, ②=-7, ③=7

(2) Wallisの積分公式を利用して$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx$を計算します。

$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx$とすると、

$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$が成り立ちます。

$I_5 = \frac{5-1}{5}I_3 = \frac{4}{5}I_3$

$I_3 = \frac{3-1}{3}I_1 = \frac{2}{3}I_1$

$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$

したがって、$I_3 = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$

$I_5 = \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{15}$

したがって、④=8, ⑤=15

3. 最終的な答え

(1) ①=3, ②=-7, ③=7

(2) ④=8, ⑤=15