以下の3つの不等式を示す問題です。 a) $\frac{x}{x+1} \leq \log(1+x)$ ($x \geq 0$) b) $1+x \leq e^x \leq \frac{1}{1-x}$ ($x < 1$) c) $\frac{x}{1+x^2} \leq \arctan(x) < x$ ($x > 0$)

1. 問題の内容

以下の3つの不等式を示す問題です。

a) $\frac{x}{x+1} \leq \log(1+x)$ ($x \geq 0$)

b) $1+x \leq e^x \leq \frac{1}{1-x}$ ($x < 1$)

c) $\frac{x}{1+x^2} \leq \arctan(x) < x$ ($x > 0$)

2. 解き方の手順

a) $f(x) = \log(1+x) - \frac{x}{x+1}$ と定義します。

$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(x+1) - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{1+x-1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2}$

$x \geq 0$ において、$f'(x) \geq 0$ であるため、$f(x)$ は単調増加です。

$f(0) = \log(1+0) - \frac{0}{0+1} = 0$

したがって、$x \geq 0$ において、$f(x) \geq 0$ となり、$\frac{x}{x+1} \leq \log(1+x)$ が成立します。

b) まず、$1+x \leq e^x$ を示します。

$g(x) = e^x - (1+x)$ と定義します。

$g'(x) = e^x - 1$

$x \geq 0$ において、$g'(x) \geq 0$ です。また、$x < 0$ において、$g'(x) < 0$ です。

したがって、$g(0) = e^0 - (1+0) = 1-1 = 0$ が最小値となります。

ゆえに、$e^x \geq 1+x$ となり、$x < 1$ においても成立します。

次に、$e^x \leq \frac{1}{1-x}$ を示します。

$h(x) = \frac{1}{1-x} - e^x$ と定義します。

$h(x) = (1-x)^{-1} - e^x$

$h'(x) = (1-x)^{-2} - e^x = \frac{1}{(1-x)^2} - e^x$

$x < 1$ において、テイラー展開を利用すると、

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$

$\frac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ...$

$x < 1$ であれば、$e^x \leq \frac{1}{1-x}$ が成り立つことを示すのは難しいので、別の方法を考えます。

関数$k(x)=(1-x)e^x$を考えると、$k'(x)=-xe^x$

$x<1$のとき、$k(0) = 1$であり、$k'(x)>0$ if $x<0$ and $k'(x)<0$ if $0<x<1$

つまり、$k(x) \leq 1$ となり、$(1-x)e^x \leq 1$から、$e^x \leq \frac{1}{1-x}$が証明される。

c) $l(x) = \arctan(x) - \frac{x}{1+x^2}$ と定義します。

$l'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{(1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - (1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{2x^2}{(1+x^2)^2}$

$x > 0$ において、$l'(x) > 0$ であるため、$l(x)$ は単調増加です。

$l(0) = \arctan(0) - \frac{0}{1+0^2} = 0$

したがって、$x > 0$ において、$l(x) > 0$ となり、$\frac{x}{1+x^2} \leq \arctan(x)$ が成立します。

次に、$\arctan(x) < x$ を示します。

$m(x) = x - \arctan(x)$ と定義します。

$m'(x) = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - 1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$

$x > 0$ において、$m'(x) > 0$ であるため、$m(x)$ は単調増加です。

$m(0) = 0 - \arctan(0) = 0$

したがって、$x > 0$ において、$m(x) > 0$ となり、$\arctan(x) < x$ が成立します。

3. 最終的な答え

a) $\frac{x}{x+1} \leq \log(1+x)$ ($x \geq 0$)

b) $1+x \leq e^x \leq \frac{1}{1-x}$ ($x < 1$)

c) $\frac{x}{1+x^2} \leq \arctan(x) < x$ ($x > 0$)