次の極限を求める問題です。ただし、(3)の $a$ は0でない定数です。 (1) $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x+3}$ (2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{a+x} - \frac{1}{a} \right)$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。ただし、(3)の $a$ は0でない定数です。

(1) $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x+3}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 3x + 2}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{a+x} - \frac{1}{a} \right)$

2. 解き方の手順

(1)

分子を因数分解します。

$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x+3} = \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$

$x \neq -3$ であるから、$x+3$ で約分できます。

$\lim_{x \to -3} (x-3)$

$x$ に $-3$ を代入します。

$-3 - 3 = -6$

(2)

分子と分母を因数分解します。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 3x + 2} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x-2)}$

$x \neq 1$ であるから、$x-1$ で約分できます。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+x+1}{x-2}$

$x$ に $1$ を代入します。

$\frac{1^2+1+1}{1-2} = \frac{3}{-1} = -3$

(3)

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{a+x} - \frac{1}{a} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{a-(a+x)}{a(a+x)} \right)$

$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{-x}{a(a+x)} \right)$

$x \neq 0$ であるから、$x$ で約分できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{-1}{a(a+x)}$

$x$ に $0$ を代入します。

$\frac{-1}{a(a+0)} = \frac{-1}{a^2}$

3. 最終的な答え

(1) $-6$

(2) $-3$

(3) $-\frac{1}{a^2}$