次の極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ を計算します。

$x \to 1$ のとき、分子も分母も0に近づくため、不定形です。

分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} = \frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}$

$x \neq 1$のとき、$\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{1}{\sqrt{1+3}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

(2)

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$を計算します。

$x \to 4$のとき、分子も分母も0に近づくため、不定形です。

分母を有理化します。

$\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = \frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4}$

$x \neq 4$のとき、$\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4} = \sqrt{x}+2$

したがって、

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x}+2) = \sqrt{4}+2 = 2+2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) 4