関数 $g(x, y) = \arctan(\frac{y}{x})$ の偏導関数 $\frac{\partial g}{\partial x}(x, y)$ と $\frac{\partial g}{\partial y}(x, y)$ が与えられており、それぞれ $\frac{\partial g}{\partial x}(x, y) = -\fbox{3} \times \frac{y}{x^2+y^2}$ および $\frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = \fbox{3} \times \frac{x}{x^2+y^2}$ の形をしている。ここで$\fbox{3}$ に入るべき数値を求める問題である。

1. 問題の内容

関数 $g(x, y) = \arctan(\frac{y}{x})$ の偏導関数 $\frac{\partial g}{\partial x}(x, y)$ と $\frac{\partial g}{\partial y}(x, y)$ が与えられており、それぞれ $\frac{\partial g}{\partial x}(x, y) = -\fbox{3} \times \frac{y}{x^2+y^2}$ および $\frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = \fbox{3} \times \frac{x}{x^2+y^2}$ の形をしている。ここで$\fbox{3}$ に入るべき数値を求める問題である。

2. 解き方の手順

$\arctan(z)$ の微分は $\frac{d}{dz}\arctan(z) = \frac{1}{1+z^2}$ である。

$g(x, y) = \arctan(\frac{y}{x})$ を $x$ で偏微分すると、

$\frac{\partial g}{\partial x}(x, y) = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \times \frac{\partial}{\partial x}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \times (-\frac{y}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \times (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$

したがって、$\frac{\partial g}{\partial x}(x, y) = -1 \times \frac{y}{x^2+y^2}$ となる。

$\frac{\partial g}{\partial y}(x, y)$ についても同様に計算する。

$\frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \times \frac{\partial}{\partial y}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \times \frac{1}{x} = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \times \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2 + y^2}$

したがって、$\frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = 1 \times \frac{x}{x^2+y^2}$ となる。

これらの結果より、$\fbox{3}$ に入るべき数値は 1 である。

3. 最終的な答え

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