与えられた2つの二変数関数の極限値を求めます。 一つ目の極限は $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3y^3}{x^2+y^2}$ です。 二つ目の極限は $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}$ です。 もし極限が存在しない場合は、100を入力します。

1. 問題の内容

与えられた2つの二変数関数の極限値を求めます。

一つ目の極限は $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3y^3}{x^2+y^2}$ です。

二つ目の極限は $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}$ です。

もし極限が存在しない場合は、100を入力します。

2. 解き方の手順

一つ目の極限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3y^3}{x^2+y^2}$ について考えます。

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。

このとき、$x^2 + y^2 = r^2$ となります。

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}$ は $\lim_{r\to 0}$ に置き換えることができます。

したがって、

\begin{align*}

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3y^3}{x^2+y^2} &= \lim_{r\to 0} \frac{(r\cos\theta)^3(r\sin\theta)^3}{r^2} \\

&= \lim_{r\to 0} \frac{r^6\cos^3\theta\sin^3\theta}{r^2} \\

&= \lim_{r\to 0} r^4\cos^3\theta\sin^3\theta

\end{align*}

ここで、$-1 \leq \cos\theta \leq 1$ かつ $-1 \leq \sin\theta \leq 1$ であるから、

$-1 \leq \cos^3\theta \leq 1$ かつ $-1 \leq \sin^3\theta \leq 1$ が成り立ちます。

したがって、$\cos^3\theta\sin^3\theta$ は有界であり、$r \to 0$ のとき $r^4\cos^3\theta\sin^3\theta \to 0$ となります。

ゆえに、一つ目の極限は0です。

二つ目の極限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}$ について考えます。

$y=mx$ という直線に沿って $(0,0)$ に近づくことを考えます。

すると、

\begin{align*}

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2} &= \lim_{x\to 0} \frac{x(mx)}{x^2+(mx)^2} \\

&= \lim_{x\to 0} \frac{mx^2}{x^2+m^2x^2} \\

&= \lim_{x\to 0} \frac{mx^2}{(1+m^2)x^2} \\

&= \lim_{x\to 0} \frac{m}{1+m^2} \\

&= \frac{m}{1+m^2}

\end{align*}

この極限値は $m$ の値によって変わります。例えば、$m=1$ のとき極限値は $\frac{1}{2}$ であり、$m=2$ のとき極限値は $\frac{2}{5}$ です。したがって、この極限は存在しません。

3. 最終的な答え

一つ目の極限値: 0

二つ目の極限値: 100