$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1} + ax + b) = 0$ が成り立つように、定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1} + ax + b) = 0$ が成り立つように、定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2-1} + ax + b$ を変形します。

$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{x^2(1-\frac{1}{x^2})} = x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}$ （$x > 0$なので）

よって、$\sqrt{x^2-1} + ax + b = x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + ax + b = x(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + a) + b$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1} + ax + b) = 0$となるためには、$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + a) + b = 0$ となる必要があり、特に$x \to \infty$の時の発散を抑えるために、$a=-1$でなければなりません。

したがって、$\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + a = \sqrt{1-\frac{1}{x^2}} - 1$なので、

$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} - 1) + b = 0$

ここで、$\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}$ をテイラー展開すると、

$\sqrt{1-t} = 1 - \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}t^2 - ...$ なので、

$\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} \approx 1 - \frac{1}{2x^2}$

$x(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} - 1) \approx x(1-\frac{1}{2x^2} - 1) = x(-\frac{1}{2x^2}) = -\frac{1}{2x}$

$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} - 1) + b = \lim_{x \to \infty} (-\frac{1}{2x}) + b = 0 + b = b$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1} + ax + b) = 0$ なので、$b = 0$となります。

したがって、$a=-1$, $b=0$ です。

しかし，$\sqrt{x^2-1}+ax+b=0$に$x \to \infty$ を代入すると、$\infty-\infty$ となり不定形になるので，有理化をします．

$\sqrt{x^2-1}+ax+b = \frac{(\sqrt{x^2-1}+ax+b)(\sqrt{x^2-1}-(ax+b))}{\sqrt{x^2-1}-(ax+b)} = \frac{(x^2-1)-(ax+b)^2}{\sqrt{x^2-1}-(ax+b)} = \frac{x^2-1 - (a^2x^2+2abx+b^2)}{\sqrt{x^2-1}-(ax+b)} = \frac{(1-a^2)x^2-2abx-(1+b^2)}{\sqrt{x^2-1}-(ax+b)}$

これが0に収束するためには、分子の$x^2$と$x$の係数が0でなければならない。

したがって、$1-a^2 = 0$ かつ $-2ab = 0$。

$1-a^2=0$より、$a=1$または$a=-1$。

$-2ab = 0$より、$a=0$または$b=0$。$a=1$，$a=-1$なので、$b=0$となる。

$\lim_{x\to\infty} \frac{-(1+b^2)}{\sqrt{x^2-1}-(ax+b)} = \lim_{x\to\infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}-ax}=0$

$a = -1$のとき$\lim_{x\to\infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}=0$

$a = 1$のとき$\lim_{x\to\infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}-x} = \lim_{x\to\infty} \frac{-(\sqrt{x^2-1}+x)}{(x^2-1)-x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{-(\sqrt{x^2-1}+x)}{-1}=\infty$

従って，$a = -1,b = 0$

3. 最終的な答え

$a = -1$, $b = 0$