関数 $f(x) = x \sin(\frac{1}{x}) (x \neq 0)$ が与えられたとき、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x \sin(\frac{1}{x}) (x \neq 0)$ が与えられたとき、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin(\frac{1}{x})$ は $-1$ と $1$ の間の値を取るため、不等式を用いて極限を評価する。

$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$ であるから、

$-|x| \leq x \sin(\frac{1}{x}) \leq |x|$

ここで、$x \to 0$ のとき、$-|x| \to 0$ かつ $|x| \to 0$ である。

したがって、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$

3. 最終的な答え

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