不定積分 $\int x^3 \sqrt{1+x^2} \, dx$ を計算する問題です。$\sqrt{1+x^2} = t$ と置換積分を行います。

1. 問題の内容

不定積分 $\int x^3 \sqrt{1+x^2} \, dx$ を計算する問題です。$\sqrt{1+x^2} = t$ と置換積分を行います。

2. 解き方の手順

$\sqrt{1+x^2} = t$ とおくと、$x^2 = t^2 - 1$ です。このとき、両辺を $x$ で微分すると $2x \, dx = 2t \, dt$ となります。つまり、$x \, dx = t \, dt$ です。

したがって、

$\int x^3 \sqrt{1+x^2} \, dx = \int x^2 \sqrt{1+x^2} \, x \, dx$

ここで、$x^2 = t^2 - 1$、$\sqrt{1+x^2} = t$、$x \, dx = t \, dt$ を代入すると、

$\int (t^2 - 1) \cdot t \cdot t \, dt = \int (t^4 - t^2) \, dt$

$\int (t^4 - t^2) \, dt = \int t^4 \, dt - \int t^2 \, dt = \frac{1}{5}t^5 - \frac{1}{3}t^3 + C$

ここで、$t = \sqrt{1+x^2}$ を代入すると、

$\frac{1}{5}(\sqrt{1+x^2})^5 - \frac{1}{3}(\sqrt{1+x^2})^3 + C = \frac{1}{5}(1+x^2)^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5}(1+x^2)^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$